a) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 2.3.\cos \widehat {BAC} = 6.\cos {60^o} = 3\)

b)

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 2\overrightarrow {AM} \)(do M là trung điểm của BC)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)

+) \(\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB}  = \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} \)

c) Ta có:

 \(\begin{array}{l}\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD}  = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right)\left( {\frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right)\\ = \frac{7}{{24}}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  - \frac{1}{2}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{7}{{24}}{\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \\ =  - \frac{1}{2}A{B^2} + \frac{7}{{24}}A{C^2} - \frac{5}{{24}}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \\ =  - \frac{1}{2}{.2^2} + \frac{7}{{24}}{.3^2} - \frac{5}{{24}}.3\\ = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow AM \bot BD\)

a)      Ta có:

+) \(\overrightarrow {MB}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BC}  \Rightarrow \overrightarrow {MB} \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng; tỉ số độ dài \(\dfrac{{BC}}{{MB}} = 2\)

\( \Rightarrow M\) nằm ngoài đoạn thẳng BC sao cho \(MB = \dfrac{1}{2}BC\)

+) \({\overrightarrow {AN}  = 3\overrightarrow {NB}  \Rightarrow \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BN}  = 3\overrightarrow {NB}  \Rightarrow 4\overrightarrow {NB}  = \overrightarrow {AB}  \Leftrightarrow \overrightarrow {NB}  = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AB} }\)

\( \Rightarrow N\) thuộc đoạn thẳng AB và \(NB=\dfrac{{1}}{{4}} AB\)

+) \(\overrightarrow {CP}  = \overrightarrow {PA}  \Leftrightarrow \overrightarrow {PC}  + \overrightarrow {PA}  = \overrightarrow 0 \)

\( \Rightarrow P\) là trung điểm của CA

b) \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BN}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}  + \frac{1}{4}\overrightarrow {BA} \)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MP}  = \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {CP}  = \overrightarrow {MC}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {CA}  \\= \frac{3}{2}\overrightarrow {BC}  + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {BC} } \right)\\ = \overrightarrow {BC}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} \end{array}\)

c) Ta có:

\(\overrightarrow {MN}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}  + \frac{1}{4}\overrightarrow {BA} ;\) \(\overrightarrow {MP}  = \overrightarrow {BC}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MP}  = 2\overrightarrow {MN} \)

Vậy \(M,N,P\) thẳng hàng

Dễ thấy: \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AC}  =  - \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} \)

Ta có:

 +) \(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BD} \). Mà \(\overrightarrow {BD}  =  - \overrightarrow {DB}  =  - \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AB}  + \left( { - \frac{1}{3}} \right)( - \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} ) = \frac{4}{3}\overrightarrow {AB}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)

+) \(\overrightarrow {DH}  = \overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {AH}  =  - \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AH} \).

Mà \(\overrightarrow {AD}  = \frac{4}{3}\overrightarrow {AB}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} ;\;\;\overrightarrow {AH}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} .\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {DH}  =  - \left( {\frac{4}{3}\overrightarrow {AB}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right) + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}  =  - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} .\)

+) \(\overrightarrow {HE}  = \overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {AE}  =  - \overrightarrow {AH}  + \overrightarrow {AE} \)

Mà \(\overrightarrow {AH}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} ;\;\overrightarrow {AE}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {HE}  =  - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} .\)

b)

Theo câu a, ta có: \(\overrightarrow {DH}  = \overrightarrow {HE}  =  - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)

\( \Rightarrow \) Hai vecto \(\overrightarrow {DH} ,\overrightarrow {HE} \) cùng phương.

\( \Leftrightarrow \)D, E, H thẳng hàng

Tham khảo:

Cho 2 điểm cố định A B và AB = a. Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn AM . AB  = 2a^2

1.

\(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{AC}=0\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{CA}\)

\(\Rightarrow\) I là 1 đỉnh của hình bình hành ABIC

2.

Gọi N là trung điểm AB \(\Rightarrow\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)

\(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BM}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MC}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\Leftrightarrow\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AN}\)

\(\Rightarrow\) M là 1 đỉnh của hình bình hành ANCM

Bài 1:

Gọi K là trung điểm của BC

ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

Xét ΔCAB có

O,K lần lượt là trung điểm của CA,CB

=>OK là đường trung bình

=>OK//AB và \(OK=\dfrac{AB}{2}\)

=>\(\overrightarrow{OK}=\dfrac{\overrightarrow{AB}}{2}\)

=>\(\overrightarrow{AB}=2\cdot\overrightarrow{OK}\)

Xét ΔOBC có OK là đường trung tuyến

nên \(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\cdot\overrightarrow{OK}\)

=>\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\)

=>M trùng với B

Bài 2:

Xét ΔABC có

M,P lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>MP là đường trung bình của ΔABC

=>MP//BC và MP=BC/2

=>MP=CN

mà MP//NC

nên MPCN là hình bình hành

=>\(\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{NC}\)

=>\(\overrightarrow{MP}=-\overrightarrow{CN}\)

=>\(\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{0}\)

mà \(\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{0}\)

nên K trùng với P

a)
\(\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{8}\overrightarrow{AC}\).
b)
\(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+x\overrightarrow{BC}\)\(=\overrightarrow{AB}+x\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)=\left(1-x\right)\overrightarrow{AB}+x\overrightarrow{AC}\).
c) A, M, I thẳng hàng khi và chỉ khi hai véc tơ \(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{AI}\) cùng phương
hay \(\dfrac{1-x}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{x}{\dfrac{3}{8}}\Leftrightarrow\dfrac{3}{8}\left(1-x\right)=\dfrac{1}{2}x\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{7}{8}x=\dfrac{3}{8}\)\(\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{7}\).